Question

已知f（x）=

4x

4x+2

，
（1）计算f（x）+f（1-x）=

 

；
（2）若{a_n}满足a_n=f（

n

1001

），则S₁₀₀₀=

 

；
（3）f（

1

1000

）+f（

2

1000

）+f（

3

1000

）+…+f（

999

1000

）=

 

；
（4）一般情况下，若S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+f（

3

n+1

）+…+f（

n

n+1

），则S_n=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件，先计算f（x）+f（1-x）是常数，然后按照条件分别进行计算即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=

4x

4x+2

，
∴f（x）+f（1-x）

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=

4x

4x+2

+

2

2+4x

=

2+4x

2+4x

=1；
（2）若{a_n}满足a_n=f（

n

1001

），则S₁₀₀₀=f（

1

1001

）+f（

2

1001

）+…+f（

999

1001

）+f（

1000

1001

）=500×[f（

1

1001

）+f（

1000

1001

）=500；
（3）f（

1

1000

）+f（

2

1000

）+f（

3

1000

）+…+f（

999

1000

）=499×[f（

1

1000

）+f（

999

1000

）]+f（

500

1000

）=499+f（

1

2

）=499+

4

4 +2

=499+

2

2+2

=

1

2

+499=499

1

2

；
（4）若n是偶数，则S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+f（

3

n+1

）+…+f（

n

n+1

）=

n

2

[f（

1

n+1

）+f（

n

n+1

）]=

n

2

，
若n是奇数，则S_n=f（

1

n+1

）+f（

2

n+1

）+f（

3

n+1

）+…+f（

n

n+1

）=

n-1

2

[f（

1

n+1

）+f（

n

n+1

）]+f（

1

2

）=

n-1

2

+

1

2

=

n

2

，
综上S_n=

n

2

．
故答案为：（1）1，（2）500，（3）499

1

2

（4）

n

2

点评：本题主要考查函数值的计算，根据指数函数的运算法则计算出f（x）+f（1-x）=1是解决本题的关键．