Question

已知函数f（x）=e^x-x，其中e为自然对数的底数．
（1）若函数F（x）=f（x）-ax²-1的导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的最大值；
（2）求证：f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）+…+f（

1

n+1

）＞n+

n

4(n+2)

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，可得H'（x）=e^x-2a≥0，即可求实数a的最大值；
（2）F（x）在[0，+∞）上是增函数，此时F（0）=0，F（x）≥0，即f(x)≥

1

2

x 2+1，x∈[0，+∞），可得f(

1

2

)≥

1

2

(

1

2

) 2+1，f(

1

3

)≥

1

2

(

1

3

) 2+1，…f(

1

n+1

)≥

1

2

(

1

n+1

) 2+1，各式相加，即可证明结论．

解答： （1）解：F'（x）=f'（x）-2ax=（e^x-1）-2ax，令H（x）=F'（x），
由题知H'（x）=e^x-2a≥0，所以a≤

1

2

ex，x∈[0，+∞)，
所以a≤

1

2

，即amax=

1

2

；       （4分）
（2）证明：由（1）知当a=

1

2

时F'（x）在[0，+∞）上是增函数，故F'（x）≥F'（0）=0，
所以F（x）在[0，+∞）上是增函数，此时F（0）=0，F（x）≥0，即f(x)≥

1

2

x 2+1，x∈[0，+∞），（4分）
即有f(

1

2

)≥

1

2

(

1

2

) 2+1，f(

1

3

)≥

1

2

(

1

3

) 2+1，…f(

1

n+1

)≥

1

2

(

1

n+1

) 2+1，
各式相加有f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

4

)+…+f(

1

n+1

)≥

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]+n＞

1

2

[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

]+n=

1

2

[

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

(n+1)

-

1

(n+2)

]+n
=

1

2

(

1

2

-

1

n+2

)+n=n+

n

4(n+2)

（6分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．