题目内容
求证：函数f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数的充要条件是a=0．
考点：函数奇偶性的判断
专题：函数的性质及应用
分析：分别从充分性和必要性两个方面利用奇偶函数的定义进行证明．
解答：
证明：充分性：若a=0，则函数f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数．
因为a=0，所以f（x）=x2+|x|+1（x∈R），
又因为f（-x）=（-x）2+|-x|+1=x2+|x|+1，所以f（x）是偶函数．
必要性：若f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数，则a=0．
因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），即
（-x）2+|-x+a|+1=x2+|x+a|+1，
所以x2+|x-a|+1=x2+|x+a|+1，
从而|x-a|=|x+a|，因此（x-a）2=（x+a）2，
展开整理，得ax=0．因为x∈R，所以a=0．
因为a=0，所以f（x）=x2+|x|+1（x∈R），
又因为f（-x）=（-x）2+|-x|+1=x2+|x|+1，所以f（x）是偶函数．
必要性：若f（x）=x2+|x+a|+1是偶函数，则a=0．
因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），即
（-x）2+|-x+a|+1=x2+|x+a|+1，
所以x2+|x-a|+1=x2+|x+a|+1，
从而|x-a|=|x+a|，因此（x-a）2=（x+a）2，
展开整理，得ax=0．因为x∈R，所以a=0．
点评：本题考查了充要条件的命题证明以及函数奇偶性的证明；对于充要条件的证明要分别从充分性和必要性两个方面分别证明．
练习册系列答案
金钥匙试卷系列答案
相关题目
函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，其中ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、向右平移
| ||
B、向右平移
| ||
C、向左平移
| ||
D、向左平移
|