Question

设等比数列{a_n}的首项为a，公比q＞0，前n项和为S_n
（1）当a=1时，S₁+1，S₂+2，S₃+1三数成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三数构成等差数列，其中n是一个正整数；
乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数；
求证：对于同一个正整数n，甲与乙不能同时为真．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）运用等比数列的公式化简求解．
（2）：分q=1时，q≠1时两种情况分类证明；q≠1时，化简得甲乙两个命题乙：即aqⁿ⁺¹（q+1）=4，甲：aqⁿ（q²-2q-1）=2（q-1），如果n是同一个整数则甲乙组成方程组必定有解，推出矛盾，即可判断不可能同时成立．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的首项为a，公比q＞0，前n项和为S_n，
∴当q=1时，S_n=na
当q≠1时，S_n=

a(1-qn)

1-q

（1）当a=1时，
若q=1时，S₁+1=2，S₂+2=4，S₃+1=4，S₁+1，S₂+2，S₃+1三数不成等差数列，不符合题意
∴q≠1，q＞0
若q≠1时，S₁+1=2，S₂+2=3+q，S₃+1=2+q+q²，
∵S₁+1，S₂+2，S₃+1成等差数列，
∴2（3+q）=4+q+q²，
即q²-q-2=0，q=2，q=-1（舍去）
所以a_n=2^n-1
（2）证明：S_n=na，S_n+1+1=a（n+1）+1，S_n+2=a（n+2）
∵S_n，（S_n+1+1），S_n+2三数构成等差数列，其中n是一个正整数，
∴得出：2=0，不可能甲正确．
S_n+1=a（n+1），S_n+2+1=a（n+2）+1，S_n+3=a（n+3），
∵S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数，
∴2a（n+2）+2=a（n+1）+a（n+3），即2=0，乙不可能正确
②当q≠1时，S_n=

a(1-qn)

1-q

，S_n+1+1=

a(1-qn+1)

1-q

+1，S_n+2=

a(1-qn+2)

1-q

，
∴得出甲：aqⁿ（q²-2q-1）=2（q-1），
S_n+1=

a(1-qn+1)

1-q

，2+S_n+2=

a(1-qn+2)

1-q

+2，S_n+3=

a(1-qn+3)

1-q

，
∵S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三数构成等差数列，其中n是一个正整数；
∴aqⁿ⁺¹（q²-2q+1）=4q-4，即aqⁿ⁺¹（q+1）=4，
乙：即aqⁿ⁺¹（q+1）=4，
甲：aqⁿ（q²-2q-1）=2（q-1），
如果n是同一个整数则甲乙组成方程组必定有解，
化简即可得到：q³-2q²+3q+2=0，（q＞0）
令f（q）=q³-2q²+3q+2，（q＞0）
f′（q）=3q²-4q+3，（q＞0），
∵△=16-36＜0，
∴f′（q）=3q²-4q+3＞0，恒成立（q＞0），
即f（q）=q³-2q²+3q+2，（q＞0）单调递增函数，
f（0）=2＞0，
所以可判断：q³-2q²+3q+2=0，（q＞0）无解，出现矛盾．
由以上可以判断：于同一个正整数n，甲与乙不能同时为真．

点评：本题综合考察了数列的性质，公式的运用；需要的变换技巧比较大，化简运算复杂，做本题时，要有耐心，代数变换能力．属于难题．