Question

15．已知a₁=2，a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+$（\frac{1}{2}）^{n+1}$（n∈N^*），求通项a_n．

Answer 1

分析 把已知递推式两边同时乘以2ⁿ⁺¹，然后换元，在构造等比数列求解．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+$（\frac{1}{2}）^{n+1}$（n∈N^*），得
${2}^{n+1}{a}_{n+1}=\frac{2}{3}{2}^{n}{a}_{n}+1$，令${b}_{n}={2}^{n}{a}_{n}$，
则${b}_{n+1}=\frac{2}{3}{b}_{n}+1$，
∴${b}_{n+1}-3=\frac{2}{3}（{b}_{n}-3）$．
∵b₁-3=4-3=1≠0，
∴$\frac{{b}_{n+1}-3}{{b}_{n}-3}=\frac{2}{3}$，即数列{b_n-3}是以1为首项，以$\frac{2}{3}$为公比的等比数列．
∴${b}_{n}-3=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，即${b}_{n}={2}^{n}{a}_{n}=（\frac{2}{3}）^{n-1}+3$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n-1}+\frac{3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．