Question

5．若曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线y=k（x-4）+3有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是k=0或$\frac{1}{3}＜k≤1$．

Answer 1

分析 曲线表示一个半圆，直线经过定点A（4，3）．由圆心到直线的距离等于半径求得k的值，求出当直线经过点（-2，1），（2，1）时，实数k的取值，即可求得实数k的取值范围．

解答 解：曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，即 x²+（y-1）²=4，表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的半圆（圆位于直线y=1的上方（含直线y=1））．
y=k（x-4）+3，经过定点A（4，3）．
由圆心到直线的距离等于半径可得$\frac{|-4k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=0或$\frac{4}{3}$（舍去），
当直线经过点（-2，1）时，直线的斜率为$\frac{3-1}{4+2}$=$\frac{1}{3}$，
当直线经过点（2，1）时，直线的斜率为$\frac{3-1}{4-2}$=1
∴曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线y=k（x-4）+3有且只有一个公共点，实数k的取值范围是k=0或$\frac{1}{3}＜k≤1$．
故答案为：k=0或$\frac{1}{3}＜k≤1$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题．