Question

已知函数f（x）=-x³-ax²+b²x+1（a，b∈R）
（1）若a=1，b=1，求f（x）的极值和单调区间；
（2）已知x₁，x₂为f（x）的极值和单调区间f（x）的极值点，若当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒小于m，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）=-x³-x²+x+1，f′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1），从而求极值及单调区间；
（2）求导f′（x）=-3x²-2ax+b²，从而可得x₁，x₂为-3x²-2ax+b²=0的两个根；又由|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|可得a²+3b²=1，从而求m．

解答： 解：（1）f（x）=-x³-x²+x+1，
f′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1），

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	极小值0	增	极大值 32 27	减

f_极小值（x）=f（-1）=0，
f_极大值（x）=f（

1

3

）=

32

27

，
f（x）在（-∞，-1），（

1

3

，+∞）上单调递减，在（-1，

1

3

）上单调递增；
（2）∵f（x）=-x³-ax²+b²x+1，
∴f′（x）=-3x²-2ax+b²，
故x₁，x₂为-3x²-2ax+b²=0的两个根；
则x₁+x₂=-

2a

3

，x₁x₂=-

b2

3

，
∵|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|，
∴|x12+x₁x₂+x22+a（x₁+x₂）-b²|=

2

9

，
即|

4a2

9

+

b2

3

-

2a2

3

-

b2

3

|=

2

9

，
∴a²+3b²=1，
∴a²≤1．
k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+

1-a2

3

，
f′（x）_max=f′（-

a

3

）=

1

3

，
故m＞

1

3

．

点评：本题考查了函数的导数的综合应用，属于中档题．