Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足2asinA=bsinB+csinC
（1）求

tanA

tanB

+

tanA

tanC

的值；
（2）求∠A的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）直接利用正弦定理以及余弦定理化简已知条件，通过两角和与差的三角函数以及同角三角函数的基本关系式化简即可求出所求结果．
（2）利用余弦定理以及（1）的结果，通过基本不等式结合三角形内角，即可求出A的最大值．

解答： 解：（1）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足2asinA=bsinB+csinC
由正弦定理以及余弦定理可得：2a²=b²+c²．即a²=b²+c²-a²=2bccosA，
∴

a2

bccosA

=2，即

sinAsinA

sinBsinCcosA

=2，

tanAsin(B+C)

sinBsinC

=2，

tanA(sinBcosC+sinCcosB)

sinBsinC

=2
可得

tanA

tanB

+

tanA

tanC

=2．
（2）由（1），2a²=b²+c²．
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2

4bc

≥

2bc

4bc

=

1

2

，当且仅当b=c时取等号，因为A是三角形内角，所以A∈（0°，60°]．
∠A的最大为60°．

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，也考查了基本不等式的应用，是中档题．