题目内容
在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=
．
（1）若
•
=
，求a+c的值；
（2）求
+
的值．
| 3 |
| 4 |
（1）若
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
（2）求
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
考点：平面向量数量积的运算,余弦定理
专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）运用向量的数量积的定义和等比数列的性质，可得b2=ac=2，再由余弦定理，计算即可得到a+c=3；
（2）由同角的平方关系和等比数列的性质，结合正弦定理，可得sin2B=sinAsinC，再由切化弦和两角和的正弦公式，计算即可得到．
（2）由同角的平方关系和等比数列的性质，结合正弦定理，可得sin2B=sinAsinC，再由切化弦和两角和的正弦公式，计算即可得到．
解答：
解：（1）由
•
=
，得accosB=
，
因cosB=
，则ac=2，
由a，b，c成等比数列，则b2=ac=2，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得
a2+c2=b2+2accosB=5，
于是（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，
故a+c=3；
（2）由cosB=
得sinB=
=
，
由b2=ac得sin2B=sinAsinC，
则
+
=
+
=
=
=
=
=
．
| BA |
| BC |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
因cosB=
| 3 |
| 4 |
由a，b，c成等比数列，则b2=ac=2，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得
a2+c2=b2+2accosB=5，
于是（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，
故a+c=3；
（2）由cosB=
| 3 |
| 4 |
1-
|
| ||
| 4 |
由b2=ac得sin2B=sinAsinC，
则
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
| cosAsinC+sinAcosC |
| sinAsinC |
=
| sin(A+C) |
| sinAsinC |
| sinB |
| sin2B |
| 1 |
| sinB |
4
| ||
| 7 |
点评：本题考查向量的数量积的定义和等比数列的性质，主要考查正弦定理和余弦定理的运用，以及三角函数的恒等变换，掌握同角公式和两角和的正弦公式是解题的关键．
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