题目内容
证明：
（1）当x∈R时，1+2x4≥2x3+x2
（2）当a，b∈R+时，aabb≥（ab）
．
（1）当x∈R时，1+2x4≥2x3+x2
（2）当a，b∈R+时，aabb≥（ab）
| a+b |
| 2 |
考点：二维形式的柯西不等式
专题：证明题,不等式的解法及应用,推理和证明
分析：（1）将所证的不等式作差后化积，通过判断符号即可证得结论成立．
（2）利用相除法，再根据指数函数的性质即可得出结论．
（2）利用相除法，再根据指数函数的性质即可得出结论．
解答：
证明：（1）∵x为实数，
∴1+2x4-x2-2x3=2x3（x-1）-（x-1）（x+1）
=（x-1）（2x3-x-1）
=（x-1）[（x-1）（2x2+2x+1）]
=（x-1）2[2（x+0.5）2+0.5]≥0，
∴1+2x4≥x2+2x3．
（2）设y=aabb÷（ab）
=(
)
，
当a＞b时，
＞1，
＞0，据指数函数的性质可知y＞1，即aabb≥（ab）
．
当a＜b时，0＜
＜1，
＜0，根据指数函数的性质可知y＞1，即aabb≥（ab）
．
综上所述，aabb≥（ab）
．
∴1+2x4-x2-2x3=2x3（x-1）-（x-1）（x+1）
=（x-1）（2x3-x-1）
=（x-1）[（x-1）（2x2+2x+1）]
=（x-1）2[2（x+0.5）2+0.5]≥0，
∴1+2x4≥x2+2x3．
（2）设y=aabb÷（ab）
| a+b |
| 2 |
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
当a＞b时，
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
当a＜b时，0＜
| a |
| b |
| a-b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
综上所述，aabb≥（ab）
| a+b |
| 2 |
点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差（商）法的应用，作差后化积是关键，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
向量
，
，满足|
|=4，|
|=2，且（
-
）•
=0，则
与
的夹角（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
在定义域内满足f（x）•f（y）=f（x+y）的函数为（ ）
| A、f（x）=kx（k≠0） |
| B、f（x）=ax（a＞0且a≠1） |
| C、f（x）=logax（a＞0且a≠1） |
| D、f（x）=ax2+bx+c（a≠0） |