Question

10．已知函数f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，数列{a_n}的通项由a_n=f（a_n-1）（n≥2且n∈N⁺）确定，a₁=$\frac{1}{2}$，则a₂₀₁₁=
$\frac{1}{672}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，可得a_n=f（a_n-1）=$\frac{3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+3}$，（n≥2且n∈N⁺），变形为：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，
∴a_n=f（a_n-1）=$\frac{3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+3}$，（n≥2且n∈N⁺）
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为$\frac{1}{3}$，首项为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{3}$（n-1），
解得a_n=$\frac{3}{n+5}$，
则a₂₀₁₁=$\frac{3}{2016}$=$\frac{1}{672}$．
故答案为：$\frac{1}{672}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．