Question

18．已知双曲线C：$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{11}$=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，则△PF₁F₂的面积等于（　　）

• A． $22\sqrt{6}$
• B． $22\sqrt{23}$
• C． $11\sqrt{23}$
• D． $11\sqrt{6}$

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求出a，b，c和焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得|PF₁|，作PF₁边上的高AF₂，有等腰三角形的性质，可知AF₁的长度，进而利用勾股定理求得AF₂，则△PF₁F₂的面积可得．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{11}$=1中a=5，b=$\sqrt{11}$，c=$\sqrt{25+11}$=6，
∴F₁（-6，0），F₂（6，0）
∵|PF₂|=|F₁F₂|=12，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=10+12=22，
作PF₁边上的高AF₂，则AF₂=$\sqrt{1{2}^{2}-1{1}^{2}}$=$\sqrt{23}$，
AF₁=$\frac{1}{2}$PF₁=11，
∴△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$|•|AF₂|•|AF₁|=$\frac{1}{2}$×22×$\sqrt{23}$=11$\sqrt{23}$．
故选C．

点评 此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到等腰三角形的特殊性．