Question

14．已知点P是正三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，AB=1，则PC和平面ABC所成的角是（　　）

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 作PO⊥平面ABC于O，则∠PCO为PC和平面ABC所成的角，由此能求出PC和平面ABC所成的角的大小．

解答 解：作PO⊥平面ABC于O，
∵P是正三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=$\frac{2}{3}$，AB=1，
∴由已知O为外心，且AB⊥OC，
∴∠PCO为PC和平面ABC所成的角，
∴OC=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PC=$\frac{2}{3}$，
∴cos∠PCO=$\frac{CO}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PCO=30°．
∴PC和平面ABC所成的角是30°．
故选：D．

点评 本题考查线面角的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．