Question

6．已知圆C：x²+y²+2x-2y=0的圆心为C，A（4，0），B（0，-2）
（Ⅰ）在△ABC中，求AB边上的高CD所在的直线方程；
（Ⅱ）求与圆C相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆心为C（-1，1），半径$r=\sqrt{2}$，求出AB的斜率，直线CD的斜率，然后求解直线CD的方程．
（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，通过圆心C到直线的距离求解即可；
②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，通过圆心C到直线的距离求解即可；

解答 解：（Ⅰ）依题意得，圆心为C（-1，1），半径$r=\sqrt{2}$，${k_{AB}}=\frac{0-（-2）}{4-0}=\frac{1}{2}$，
∴直线CD的斜率为：${k_{CD}}=\frac{-1}{{{k_{AB}}}}=-2$，
∴直线CD的方程为：y-1=-2（x+1），即2x+y-1=0．
（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，
则圆心C到直线的距离为$\frac{|k+1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得k=1，得直线为y=x，
②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，
则圆心C到直线的距离为$\frac{|a|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，解得a=±2，得直线为x+y=2或x+y=-2，
综上所述，直线方程为x-y=0或x+y-2=0或x+y+2=0．

点评 本题考查直线与圆的法长的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．