Question

5．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，{b_n}是等差数列，c_n=a_n+b_n，数列{c_n}的前n项和为S_n，且c₁₀=$\frac{1}{2}$，S₈=1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c${\;}_{{4}^{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{b_n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合三角函数的特殊值，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（Ⅱ）化简c${\;}_{{4}^{n}}$=a${\;}_{{4}^{n}}$+b${\;}_{{4}^{n}}$=cos$\frac{{4}^{n}π}{2}$+$\frac{{4}^{n}-4}{4}$=4^n-1，即有数列{c${\;}_{{4}^{n}}$}是以1为首项，公比为4的等比数列，由求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）a_n=cos$\frac{nπ}{2}$，{b_n}是公差为d的等差数列，
可得c_n=a_n+b_n=cos$\frac{nπ}{2}$+b₁+（n-1）d，
由c₁₀=$\frac{1}{2}$，S₈=1，可得cos5π+b₁+9d=$\frac{1}{2}$，
即为b₁+9d=$\frac{3}{2}$；①
又cos$\frac{π}{2}$+cosπ+cos$\frac{3π}{2}$+cos2π+…+cos4π=0-1+0+1+…+1=0，
则8a₁+28d=1，②
由①②解得b₁=-$\frac{3}{4}$，d=$\frac{1}{4}$，
可得b_n=b₁+（n-1）d=-$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$（n-1）=$\frac{n-4}{4}$；
（Ⅱ）c${\;}_{{4}^{n}}$=a${\;}_{{4}^{n}}$+b${\;}_{{4}^{n}}$=cos$\frac{{4}^{n}π}{2}$+$\frac{{4}^{n}-4}{4}$
=cos2^2n-1π+4^n-1-1=1+4^n-1-1=4^n-1，
即有数列{c${\;}_{{4}^{n}}$}是以1为首项，公比为4的等比数列，
则前n项和T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，以及三角函数的特殊值，考查数列的求和，注意化简整理，运用等比数列的求和公式，属于中档题．