Question

10．已知f（x）的定义域为R，f（1）=$\frac{1}{4}$，且满足4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），则f（2016）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 确定函数是周期函数，周期T=6，f（0）=$\frac{1}{2}$，即可求出f（2016）．

解答 解：取x=1，y=0得4f（1）f（0）=f（1）+f（1），
∵f（1）=$\frac{1}{4}$，∴f（0）=$\frac{1}{2}$
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2016）=f（0）=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，正确赋值是关键．