Question

已知函数f（x）=2sin（ωx-

π

6

），（x∈R，ω＞0），且f（x）的最小正周期为6π
（1）求ω及f（

5π

2

）的值；
（2）设α、β∈[0，

π

2

]，f（3a+

π

2

）=

10

13

，f（3β+2π）=

6

5

求tan（α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数的周期公式先求出ω的值，从而求出函数的解析式，进而可求f（

5π

2

）的值；
（2）根据已知，依次求出sinα，cosα，tanα，cosβ，sinβ，tanβ的值，从而由两角和与差的正切函数公式可求tan（α-β）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）的最小正周期为6π，ω＞0，ω=

2π

6π

=

1

3

  …（1分）
∴f（x）=2sin（

1

3

x-

π

6

） f（

5π

2

）=2sin（

1

3

×

5π

2

-

π

6

）=2sin

2π

3

=

3

    …（3分）
（2）∵f（3a+

π

2

）=2sinα=

10

13

，…（4分） 
∴sinα=

5

13

，…（5分）
∵α∈[0，

π

2

]，∴cosα=

12

13

   …（6分）
∴tanα=

5

12

…..（7分）
∵f（3β+2π）=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

6

5

，…．（8分）
∴cosβ=

3

5

…..（9分）
∵β∈[0，

π

2

]，∴sinβ=

4

5

，…（10分）
∴tanβ=

4

3

…（11分）
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

5 12 - 4 3

1+ 5 12 × 4 3

=-

33

56

…（12分）

点评：本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，考察了两角和与差的正切函数公式，同角的三角函数关系式的应用，属于基础题．