Question

若关于x的不等式（ax-50）lg

2a

x

≤0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值集合是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意可得a＞0，x＞0，设f（x）=（ax-50）lg

2a

x

，可得当x无限趋近于0时，f（x）无限趋近于-∞，当x无限趋近于+∞时，f（x）无限趋近于-∞，
把f（x）≤0恒成立转化为f（x）有唯一的零点，进一步得到

50

a

=2a，由此求得a的取值集合．

解答： 解：（ax-50）lg

2a

x

≤0对任意的正实数x恒成立，
则a＞0，x＞0，
设f（x）=（ax-50）lg

2a

x

，
当x无限趋近于0时，f（x）无限趋近于-∞，
当x无限趋近于+∞时，f（x）无限趋近于-∞，
若f（x）≤0恒成立，需f（x）有唯一的零点，
由f（x）=0，得ax-50=0或lg

2a

x

=0．
解得：x=

50

a

，x=2a．
若f（x）有唯一的零点，则

50

a

=2a，
那么a²=25，即a=5．
∴实数a的取值集合是{5}．
故答案为：{5}．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，把f（x）≤0恒成立转化为f（x）有唯一的零点是解答该题的关键，是中档题．