Question

f（x）=

x

2

-

1

4

sinx-

3

4

cosx，其中f′（x）为f（x）的导函数，且f′（B）=

3

4

，B∈（0，

π

2

）．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]的值．

Answer 1

考点：导数的加法与减法法则,三角函数的恒等变换及化简求值

专题：导数的概念及应用,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）先求导，再根据两角差的正弦公式，化简f′（x），再根据三角形函数值，求出B；
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，诱导公式，二倍角公式，化简计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

2

-

1

4

cosx+

3

4

sinx=

1

2

+

1

2

sin（x-

π

6

），
∵f′（B）=

3

4

，B∈（0，

π

2

）．
∴

1

2

+

1

2

sin（B-

π

6

）=

3

4

，
∴sin（B-

π

6

）=

1

2

∴B=

π

3

；
（Ⅱ）sin（B+10°）[1-

3

tan（B-10°）]
=sin（60°+10°）[1-

3

tan（60°-10°）]
=sin70°

cos50°- 3 sin50°

cos50°

=cos20°

2sin(30°-50°)

sin40°

=-1

点评：本题考查了导数的运算法则和三角函数的有关公式，属于基础题