Question

3．已知1＜m＜4，F₁，F₂为曲线$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4-m}=1$的左、右焦点，点P为曲线C与曲线$E：{x^2}-\frac{y^2}{m-1}=1$在第一象限的交点，直线l为曲线C在点P处的切线，若三角形F₁PF₂的内心为点M，直线F₁M与直线l交于N点，则点M，N横坐标之和为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 随m的变化而变化

Answer 1

分析 先求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形F₁PF₂的内切圆的半径、直线F₁M的方程，联立求出N的横坐标，即可得出结论．

解答 解：联立两曲线方程，消去y可得x=$\frac{2}{\sqrt{m}}$，
设P（x₀，y₀），直线l的方程为$\frac{{x}_{0}x}{4}+\frac{{y}_{0}y}{4-m}$=1①，
设三角形F₁PF₂的内切圆的半径为r，则由等面积可得$2\sqrt{m}{y}_{0}$=（4+$2\sqrt{m}$）r，
∴r=$\frac{\sqrt{m}{y}_{0}}{2+\sqrt{m}}$=y_M②，
直线F₁M的方程为y=$\frac{{y}_{M}}{1+\sqrt{m}}$（x+$\sqrt{m}$）③，
联立①②③，化简可得$3\sqrt{m}$x=6$\sqrt{m}$，
∴x_N=2，
∵x_M=1，
∴x_M+x_N=3
故选：C．

点评 本题考查题意、双曲线方程的性质，考查直线与椭圆的位置关系，正确计算是关键．