Question

在五边形ABCDE中（图一），BD是AC的垂直平分线，O为垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC．沿对角线AC将四边形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC（图二）．

（1）求证：平面EBC⊥平面EAB；
（2）若OD=OB=1，求点A到平面DBC的距离．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出OD⊥平面ABC，从而得AE⊥BC，进而得到BC⊥平面EAB，由此能证明平面EBC⊥平面EAB．
（2）连AD，设点A到平面DBC的距离为d，由V_A-DBC=V_D-ABC，利用等积法能求出点A到平面DBC的距离．

解答： （1）证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，OD⊥AC，
∴OD⊥平面ABC，…（2分）
∵AE∥OD，∴AE⊥平面ABC，∴AE⊥BC，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面EAB，
∵BC∥平面EBC，
∴平面EBC⊥平面EAB．…（6分）
（2）解：∵OD=OB=1，
∴BC=DB=DC=

2

，
S△DBC=

3

4

×(

2

)2=

3

2

…（8分）
连AD，设点A到平面DBC的距离为d，
∵V_A-DBC=V_D-ABC
∴

1

3

•S△DBC•d=

1

3

•

1

2

•AC•OB•OD，
整理，得

3

2

d=1，解得d=

2 3

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．