Question

已知函数，（其中，），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若，满足，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，试探究与的大小，并说明你的理由．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）先求出在点处切线方程为，再求出在点处切线方程为，比较两方程的系数即可得，；（Ⅱ）根据题意可转化成在上有解，令，只需，分类讨论可求得实数m的取值范围是；
（Ⅲ）令，再证函数在区间上单调递增，当时，恒成立，即可得对任意，有，再证即可得证.
试题解析：（Ⅰ）∵，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，
又，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，
由解得，． 4分
（Ⅱ）由得，故在上有解，
令，只需．  6分
①当时，，所以； 7分
②当时，∵，
∵，∴，，∴，
故，即函数在区间上单调递减，
所以，此时．
综合①②得实数m的取值范围是．    9分
（Ⅲ）令，．
令，则在上恒成立，
∴当时，成立，∴在上恒成立，
故函数在区间上单调递增，∴当时，恒成立，
故对于任意，有．    12分
又∵，
∴．
∴，从而．… 14分