Question

6．当m为何值时，方程x²-4|x|+5=m有四个互不相等的实数根？并讨论m为何值时，方程有三个实数根，两个实数根，没有实数根．

Answer 1

分析 由题意，本题即求函数f（x）=x²-4|x|+5的图象和直线 y=m的交点的个数与实数m的关系，数形结合可得结论．

解答 解：方程x²-4|x|+5=m根的个数，
即函数f（x）=x²-4|x|+5=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+5，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+5，x≤0}\end{array}\right.$的图象和直线 y=m的交点的个数，
如图所示：
故当m∈（1，5）时，f（x）的图象和直线 y=m的交点的个数为4，即方程有4个实数根；
当m=5时，f（x）的图象和直线 y=m的交点的个数为3，即方程有3个实数根；
当m=1时，f（x）的图象和直线 y=m的交点的个数为2，即方程有2个实数根；
当m＜1时，f（x）的图象和直线 y=m的交点的个数为0，即方程没有实数根．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，函数的图象，两个函数的图象的交点，属于中档题．