Question

15．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$，定义S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{3}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），其中n∈N₊，（n≥2）则S_n=$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$，可得f（x）+f（1-x）=1+log₂$\frac{x}{1-x}$+$lo{g}_{2}\frac{1-x}{x}$=1+log₂1=1，再利用“倒序相加法”即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$，
∴f（x）+f（1-x）=1+log₂$\frac{x}{1-x}$+$lo{g}_{2}\frac{1-x}{x}$=1+log₂1=1，
∵S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{3}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
∴2S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+$f（\frac{n-2}{n}）$+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+$f（\frac{1}{n}）$
=1×n=n，
∴S_n=$\frac{n}{2}$．
故答案为：$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查了“倒序相加法”、函数的性质、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．