Question

17．设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，则“q=1”是“S₆=3S₂”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 S₆=3S₂，q=1时，6a₁=3×2a₁恒成立．q≠1时，$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$3×\frac{{a}_{1}（{q}^{2}-1）}{q-1}$，解得q即可判断出结论．

解答 解：∵S₆=3S₂，∴q=1时，6a₁=3×2a₁恒成立．
q≠1时，$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$3×\frac{{a}_{1}（{q}^{2}-1）}{q-1}$，
化为：q⁴+q²+1=3，即q⁴+q²-2=0，
解得q²=1，解得q=-1．
综上可得：“q=1”是“S₆=3S₂”的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．