Question

15．如图1，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=AC=1，现将△DAC沿AC折起，得到三棱锥D-ABC（如图2），且DA⊥BC，点E为侧棱DC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DBC；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积；
（Ⅲ）在∠ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF∥平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AE⊥CD；结合AC⊥BC，AD⊥BC，推出BC⊥平面ACD．得到AE⊥BC；证明AE⊥平面BCD，即可推出平面ABE⊥平面BCD．
（Ⅱ）利用V_E-ABC=V_B-ACE，结合BC是三棱锥的高，求解 ${V_{B-ACE}}=\frac{1}{3}×BC×{S_{△ACE}}=\frac{1}{12}$．
（Ⅲ）取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF．说明射线CO是角∠ACB的角分线．正面OE∥DF，推出DF∥平面ABE．然后最后求解DF即可．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，有AD=BC=AC，又因为E为侧棱DC的中点，
所以AE⊥CD；
又因为AC⊥BC，AD⊥BC，且AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD．
又因为AE?平面ACD，所以AE⊥BC；
因为BC∩CD=C，
所以AE⊥平面BCD，
又因为AE?平面ABE，
所以平面ABE⊥平面BCD．…（5分）
（Ⅱ）解：因为V_E-ABC=V_B-ACE，BC⊥平面ACD，所以BC是三棱锥的高，
故${V_{B-ACE}}=\frac{1}{3}×BC×{S_{△ACE}}$，
又因为BC=1，$CD=\sqrt{2}$，$AE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}×AE×\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{4}$，
所以有 ${V_{B-ACE}}=\frac{1}{3}×BC×{S_{△ACE}}=\frac{1}{12}$…（9分）
（Ⅲ）解：取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF．
因为BC=AC，所以射线CO是角∠ACB的角分线．

又因为点E是的CD中点，所以OE∥DF，
因为OE?平面ABE，DF?平面ABE，
所以DF∥平面ABE．
因为AB、FC互相平分，
故四边形ACBF为平行四边形，有BC∥AF．
又因为DA⊥BC，所以有AF⊥AD，
又因为AF=AD=1，故$DF=\sqrt{2}$．…（14分）

点评 本题考查直线与平面，平面与平面垂直以及平行的位置关系的判断与应用，几何体的体积的求法，空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．