题目内容

8．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点M （m，0）（m＞$\frac{3}{4}$）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（$\frac{5}{4}$，0），且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．

分析 （Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2-c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$整理得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值，解得m，|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y1-y2|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{t}^{2}）}{{t}^{2}+2}$，点O到直线AB的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，△OAB面积s=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$即可求得最值

解答 解：（Ⅰ）设F1（-c，0），
∵抛物线y2=-4x的焦点坐标为（-1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合，∴c=1，
又椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$，于是有b2=a2-c2=1．
故椭圆Γ的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$整理得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2tm}{{t}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{m}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$，
$\overrightarrow{PA}=（{x}_{1}-\frac{5}{4}，{y}_{1}），\overrightarrow{PB}=（{x}_{2}-\frac{5}{4}，{y}_{2}）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{x}_{1}-\frac{5}{4}）（{x}_{2}-\frac{5}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$=${x}_{1}{x}_{2}-\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{25}{16}+{y}_{1}{y}_{2}$
=（t2+1）y1y2+（tm-$\frac{5}{4}$t）（y1+y2）+m2-$\frac{5}{2}m+\frac{25}{16}$=$\frac{（-{m}^{2}+\frac{5}{2}m）{t}^{2}+（{m}^{2}+2）}{{t}^{2}+2}+{m}^{2}-\frac{5}{2}m-\frac{7}{16}$．
要使$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值，则$\frac{-{m}^{2}+\frac{5}{2}m}{1}=\frac{{m}^{2}+2}{2}$，解得m=1或m=$\frac{2}{3}$（舍）
当m=1时，|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y1-y2|=$\frac{2\sqrt{2}（1+{t}^{2}）}{{t}^{2}+2}$，
点O到直线AB的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
△OAB面积s=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$=$\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{1+t}+\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴当t=0，△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式及面积的最值，属于中档题．

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