题目内容
10．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），证明当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞4．
分析 （1）利用导数与函数单调性的关系求得即可；
（2）构造函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数判断且单调性得h（x）在（2，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（2）=0，即可得证；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出结论．
解答 解：（1）f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$（x∈R）
∴f'（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$，
∴x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x＞2时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值=f（2）=$\frac{1}{e}$．
（2）∴g（x）=f（4-x），
∴g（x）=$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$，
设h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$-$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$，
∴h'（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$-$\frac{2-x}{{e}^{3-x}}$=$\frac{（2-x）（{e}^{3-x}-{e}^{x-1}）}{{e}^{2}}$
当x＞2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（2）=0，
∴f（x）＞g（x）．
（3）由（1），不妨设x1＜2＜x2，则4-x2＜2，
∴由（2）得f（x1）=f（x2）＞f（4-x2），
又由（1）得，x＜2时，f（x）单调递增，
∴x1＞4-x2，
∴x1+x2＞4．
点评 本题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值最值的知识，以及通过构造函数证明不等式成立问题，属中档题．
练习册系列答案
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1．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
| A． | f（x）=log22x，g（x）=$\root{3}{{x}^{3}}$ | B． | f（x）=$\sqrt{{x}^{2}}$，g（x）=x | ||
| C． | f（x）=x，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x}$ | D． | f（x）=lnx2，g（x）=2lnx |
在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，G、H分别为AD、BC中点．证明：
19．
函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图，且过点$A（\frac{7π}{12}，0），B（0，-1）$，则以下结论不正确的是（ ）
函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图，且过点$A（\frac{7π}{12}，0），B（0，-1）$，则以下结论不正确的是（ ）| A． | f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$ 对称 | B． | f（x）的图象关于点$（\frac{π}{12}，0）$对称 | ||
| C． | f（x） 在$[-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}]$ 上是增函数 | D． | f（x） 在$[\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}]$ 上是减函数 |