Question

16．曲线$y={x^3}-\sqrt{3}x+2$上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是（　　）

• A． $[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{2π}{3}，π}）$
• B． $[{\frac{2π}{3}，π}）$
• C． $[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{5π}{6}，π}）$
• D． $[{\frac{5π}{6}，π}）$

Answer 1

分析 设P（m，n），求出函数y的导数，求得切线的斜率，由二次函数的性质可得斜率的范围，再由直线的斜率公式k=tanα（0≤α＜π且α≠$\frac{π}{2}$），即可得到所求范围．

解答 解：设P（m，n），
y=x³-$\sqrt{3}$x+2的导数为y′=3x²-$\sqrt{3}$，
即有切线的斜率为k=3m²-$\sqrt{3}$，
由直线的斜率公式k=tanα（0≤α＜π，且α≠$\frac{π}{2}$），
可得tanα≥-$\sqrt{3}$，
解得α∈$[{0，\frac{π}{2}}）∪[{\frac{2π}{3}，π}）$，
故选A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及直线的斜率公式和倾斜角的范围，属于中档题．