Question

7．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sinxcosx）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{4}{5}$，f（β）=$\frac{5}{13}$，α，β∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），求f（α-β+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求得数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得cos（2α+$\frac{π}{6}$）和cos（2β+$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α-β+$\frac{π}{6}$）=sin[2（α-β+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos[（2α-$\frac{π}{6}$）-（2β-$\frac{π}{6}$）]的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，f（x）取得最小值为-$\frac{1}{2}$；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为1．
（Ⅱ）∵f（α）=sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，f（β）=sin（2β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{5}{13}$，α，β∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴2α+$\frac{π}{6}$为钝角，2β+$\frac{π}{6}$为钝角，cos（2α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$，cos（2β+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{12}{13}$．
故f（α-β+$\frac{π}{6}$）=sin[2（α-β+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin[（2α-$\frac{π}{6}$）-（2β-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=cos[（2α-$\frac{π}{6}$）-（2β-$\frac{π}{6}$）]
=cos（2α+$\frac{π}{6}$）•cos（2β+$\frac{π}{6}$）-sin（2α+$\frac{π}{6}$）•sin（2β+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{5}$•（-$\frac{12}{13}$）-$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{13}$=$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题．