Question

(12分)
已知函数（其中是自然对数的底数，为正数）
（I）若在处取得极值，且是的一个零点，求的值；
（II）若，求在区间上的最大值；
（III）设函数在区间上是减函数，求的取值范围．

Answer 1

（I）
（II）时，单调递减；时，单调递增

当，即时，
当，即时，
（III）

(I)由可得关于k的方程,解出k值.
(II)先求导,然后利用导数研究f(x)的单调性极值和最值.
(III)本小题的实质是在区间上恒成立,即.
解法一：
（I）由已知


（II）

由此得时，单调递减；时，单调递增

当，即时，
当，即时，
（III）
在在是减函数，
在上恒成立
即在上恒成立
在上恒成立
又当且仅当时等号成立.

解法二；（I）,（II）同解法一
（III）
在是减函数，
在上恒成立
即在上恒成立
不妨设





由于无解.
综上所述，得出，即的取值范围是