Question

已知函数，。
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅲ）试判断方程（其中）是否有实数解？并说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）和（Ⅱ）（Ⅲ）没有。理由见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）利用函数的定义域和导函数，结合导数的正负号与函数单调性的关系得到结论。
（2）在第一问的基础上判定极值和端点值，进而得到最值。
（3）要方程无实数解则可以利用函数没有零点，结合导数的思想来判定解得。
解：（Ⅰ）因为
          1分
则有        2分
当，或时，
，此时单调递增
所以，函数的单调递增区间是和          3分
（Ⅱ）因为，
所以
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减            4分
于是，当时，，函数在区间上单调递增
此时，            5分
当时，函数在上单调递减，在上单调递增
此时，。
综上所述，            6分
（Ⅲ）方程没有实数解
由，
得：            7分
设
则
当时，；
当时，
故函数在上单调递增，
在上单调递减             8分
所以，函数在上的最大值为
由（Ⅱ）可知，
在上的最小值为          9分
而，所以方程没有实数解              10分