Question

19．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的几组对照数据：

x（年）	3	4	5	6
y（万元）	2.5	3	4	4.5

（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a
（2）已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元．试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少？
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=y-$\stackrel{∧}{b}$x．

Answer 1

分析 （1）计算平均数$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程；
（2）利用回归方程求出x=10时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）计算$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
$\sum_{i=1}^4{X_i^2}={3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=86$，…（3分）
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5；…（5分）
回归系数$\hat b=\frac{66.5-4×4.5×3.5}{{86-4×{{4.5}^2}}}=\frac{66.5-63}{86-81}=0.7$；
  $\hat a=\bar Y-\hat b\overline{X}=3.5-0.7×4.5=0.35$；
故所求的回归方程为$\hat y=0.7x+0.35$；…（9分）
（2）当x=10时，利用y关于x的线性回归方程计算$\stackrel{∧}{y}$=0.7×10+0.35=7.35，…（10分）
预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低9-7.35=1.65（万元），
答：求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35，
预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低1.65万元．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．