Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+3与曲线W交于A，B两点，在曲线W上是否存在一点Q，使得，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），再由M和N的坐标，利用两点间的距离公式分别表示出|PM|及|PN|，由距离之比为列出关系式，整理后即可得到动点P轨迹W的方程；
（Ⅱ）由第一问得到的W轨迹方程为圆心（0，0），半径为2的圆，且直线l与圆交于两个，得到圆心到直线l的距离d小于半径r，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，假设存在Q点，使得=+，又A和B再圆上，利用由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，根据菱形的对角线互相平分且垂直，得到OQ与AB互相垂直且平分，可得出原点到直线l的距离等于|OQ|的一半，即为半径的一半，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，经检验符合k的范围，故存在点Q，使得=+，．
解答：解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得：=，
又M（1，0），N（4，0），
∴2=，
化简得：x²+y²=4，
则动点P轨迹W方程为x²+y²=4；                       
（Ⅱ）∵直线l：y=kx+3与曲线W交于A，B两点，且W轨迹为圆心为（0，0），半径r=2的圆，
∴圆心到直线l的距离d=＜r=2，即k²＞，
解得：k＞或k＜-，
假设存在点Q点，使得=+，
由A，B圆上，且=+，
利用向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，
∴OQ与AB互相垂直且平分，
∴原点O到直线l：y=kx+3的距离为d=|OQ|=1，即=1，
整理得：k²=8，
解得：k=±2，经验证满足条件，
则存在点Q，使得=+．
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，动点的轨迹方程，圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，菱形的判定与性质，以及向量在几何中的运用，是一道综合性较强的试题．