Question

已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.

因为，所以，. 设椭圆方程为,  

由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以

，解得。所以椭圆方程为      

Ⅱ已知直线的斜率存在，设直线的方程为.

由消去，整理得.  

由题意知，解得

设，，，则.    

又直线与椭圆相切，

由解得，所以   

则. 所以.

又

 所以，解得.经检验成立.

所以直线的方程为.  

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

点评：本题考查椭圆方程的求法，探索直线方程是否存在．综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．