Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，若|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$|=3，则$\frac{16b}{ac}$的最小值为$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．

Answer 1

分析 推导出$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2B+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=1，从而$B=\frac{π}{4}$，由 $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}|=3$，两边平方，利用余弦定理得b=3，由此能求出$\frac{16b}{ac}$的最小值．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，
∴$\frac{1+cos2B}{2}$+$\frac{sin2B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2B+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{4}$，
∵$|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}|=3$，∴两边平方得a²+c²-2accosB=9=b²，∴b=3，
∵$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-9}}{2ac}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴ac≤$\frac{9}{2-\sqrt{2}}$，
∴$\frac{16b}{ac}$≥$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．
∴$\frac{16b}{ac}$的最小值为$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．
故答案为：$\frac{16（2-\sqrt{2}）}{3}$．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，考查二倍角公式、同角三角函数关系式、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．