Question

12．已知F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦点，M为椭圆上动点，有以下四个结论：
①|MF₂|的最大值大于3；
②|MF₁|•|MF₂|的最大值为4；
③∠F₁MF₂的最大值为60°；
④若动直线l垂直y轴，交此椭圆于A、B两点，P为l上满足|PA|•|PB|=2的点，则点P的轨迹方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{{2{y^2}}}{3}=1$或$\frac{x^2}{6}+\frac{{2{y^2}}}{9}=1$．
以上结论正确的序号为②③④．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
①|MF₂|≤a+c，即可判断出正误；
②由|MF₁|+|MF₂|=2×2=4≥$2\sqrt{|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$，即可判断出正误．
③当点M取短轴的一个端点时，∠F₁MF₂取得最大值，取M$（0，\sqrt{3}）$，则tan$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出即可判断出正误．
④设P（x，y），A（x₁，y），B（-x₁，y），由|PA|•|PB|=2，可得|x-x₁||x+x₁|=2，即$|{x}^{2}-{x}_{1}^{2}|$=2，又$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，代入即可判断出正误．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
①|MF₂|≤a+c=3，因此不正确；
②由|MF₁|+|MF₂|=2×2=4≥$2\sqrt{|M{F}_{1}||M{F}_{2}|}$，可得|MF₁|•|MF₂|≤4，当且仅当|MF₁|=|MF₂|=2时取等号．因此正确．③当点M取短轴的一个端点时，∠F₁MF₂取得最大值，取M$（0，\sqrt{3}）$，则tan$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得$\frac{1}{2}$∠F₁MF₂=30^°，因此∠F₁MF₂的最大值为60°，因此正确．
④设P（x，y），A（x₁，y），B（-x₁，y），∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x₁||x+x₁|=2，即$|{x}^{2}-{x}_{1}^{2}|$=2，又$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得${x}_{1}^{2}$=4$（1-\frac{{y}^{2}}{3}）$，代入可得$|{x}^{2}-4（1-\frac{{y}^{2}}{3}）|=2$，化为P的轨迹方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{{2{y^2}}}{3}=1$或$\frac{x^2}{6}+\frac{{2{y^2}}}{9}=1$，正确．
以上结论正确的序号为②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．