Question

17．设函数$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}sin2x+2m，（x∈R，m∈R）$，
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）当$0≤x≤\frac{π}{4}$时，f（x）的最小值为0，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的余弦公式、正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间；
（Ⅱ）由x的范围求出2x+$\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的图象、性质和条件列出方程，求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}sin2x+2m$
=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+\sqrt{3}sin2x+2m$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+2m=sin（2x+\frac{π}{6}）+2m$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得，
$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，
则f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z，
且f（x）的最小正周期为T=π；
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{4}$，∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
则$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∵f（x）的最小值为0，
∴$\frac{1}{2}+2m=0$，解得$m=-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了两角和的余弦公式、正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．