Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x-4，x≤6}\\{{a}^{x-6}，x＞6}\end{array}\right.$，设a_n=f（n），n∈N^*，若{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是（2，3）．

Answer 1

分析 由一次函数的性质可知：当n≤6，{a_n}是递增数列，即3-a＞0，当x＞7时，a＞1，并且a₇＞a₆，列方程组即可求得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x-4，x≤6}\\{{a}^{x-6}，x＞6}\end{array}\right.$，
a_n=f（n），n∈N^*，
∴当1≤n≤6时，a_n=（3-a）n-3；
当n＞6时，a_n=a^n-6．
∵{a_n}是递增数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{a＞1}\\{{a}_{7}＞{a}_{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{a＞1}\\{a＞（3-a）×6-4}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜3
故答案为：（2，3）．

点评 本题考查数列与函数的综合，易错点是忽视a₇＞a₆，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用，属于中档题．