Question

18．数列{a_n}满足a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n＞1）且a₁=-$\frac{1}{4}$，则a₂₀₁₅=5．

Answer 1

分析 由已知数列递推式及首项求得数列前几项，得到数列{a_n}是以3为周期的周期数列，则答案可求．

解答 解：由a_n=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n＞1）且a₁=-$\frac{1}{4}$，得
${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}=\frac{-\frac{1}{4}-1}{-\frac{1}{4}}=5$，${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}}=\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}$，
${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}}=\frac{\frac{4}{5}-1}{\frac{4}{5}}=-\frac{1}{4}$，
…
由上可知，数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
则a₂₀₁₅=a_3×671+2=a₂=5．
故答案为：5．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的周期性，是中档题．