题目内容
17．
某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
分析 ．（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．
（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．
（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此得ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而能求出ξ的分布列和期望．
解答 解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，
∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：
0.06×50=3（人）．
（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，
∴估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数为：
800×0.38=304（人）．
（2）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，
∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，
∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，
∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，
现从第一、第五组中各抽取2名学生组成一个实验组，设其中男生人数为ξ，
则ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}+\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．
∴ξ的分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |
点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和等可能事件概率计算公式的合理运用．
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