Question

3．已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a（a∈R）
（1）若a=6，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）若函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的几何意义求出不等式的解集即可；
（2）由题意可得2f（x）-g（x）＞0，即a＜2|x-1|+|x+3|．设h（x）=2|x-1|+|x+3|，利用单调性求的h（x）的最小值，可得a的范围．

解答 解：（1）原不等式可化为：|x-1|+|x+3|＞6，
由绝对值的几何意义得：
不等式的解集是{x|x＞2或x＜-4}；
（2）y=2f（x）图象恒在g（x）图象上方，
故2f（x）-g（x）＞0，等价于a＜2|x-1|+|x+3|，
设h（x）=2|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1，x≤-3}\\{5-x，-3＜x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}\right.$，
根据函数h（x）的单调减区间为（-∞，1]、增区间为（1，+∞），
可得当x=1时，h（x）取得最小值为4，
∴a＜4时，函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的上方．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．