Question

13．设函数f（x）=n-1，x∈[n，n+1]，n∈N，则函数g（x）=f（x）-log₂x的零点个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 无数个

Answer 1

分析 将求g（x）=f（x）-log₂x的零点个数，转化成求f（x）=n-1，x∈[n，n+1]，n∈N，与h（x）=log₂x交点个数，分别绘制f（x）和h（x）函数图象，根据函数图象及函数解析式即可f（x）和h（x）得交点个数．

解答 解：将求g（x）=f（x）-log₂x的零点个数，转化成求f（x）=n-1，x∈[n，n+1]，n∈N，与h（x）=log₂x交点个数，
画出f（x）和h（x）在同一坐标系中函数图象，

①当n=0时，f（x）=-1，x∈[0，1），则log₂x=-1⇒x=$\frac{1}{2}$∈[0，1）成立，
②当n=1时，f（x）=0，x∈[1，2），则log₂x=0⇒x=1∈[1，2），
③当n=2时，f（x）=1，x∈[2，3），则log₂x=1⇒x=2∈[2，3），
④当n=3时，f（x）=2，x∈[3，4），则log₂x=2⇒x=4∉[3，4），
⑤当n=4时，f（x）=3，x∈[4，5），则log₂x=3⇒x=8∉[4，5），
∴从第二项起x的取值以1为首项2为公比的等比数列，而区间函数f（x）成正比增长，
故f（x）和h（x）没有交点，
∴f（x）和h（x）由三个交点，
∴函数g（x）=f（x）-log₂x有3个零点，
故答案选：C．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断问题，考查数形结合的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想，属于中档题．