Question

14．已知log₂（2-x）≤log₂（3x+6）
（1）解上述不等式；
（2）在（1）的条件下，求函数$y={（{\frac{1}{4}}）^{x-1}}-4•{（{\frac{1}{2}}）^x}$+2的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{3x+6＞0}\\{3x+6≥2-x}\end{array}\right.$，由此求得x的范围．
（2）当x∈[-1，2），t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$∈（$\frac{1}{4}$，2]，函数$y={（{\frac{1}{4}}）^{x-1}}-4•{（{\frac{1}{2}}）^x}$+2=4${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$=1，再利用二次函数的性质求得它的最值及相应的x的值．

解答 解：（1）∵log₂（2-x）≤log₂（3x+6），∴$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{3x+6＞0}\\{3x+6≥2-x}\end{array}\right.$，求得-1≤x＜2，故不等式的解集为[-1，2）．
（2）当x∈[-1，2），t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$∈（$\frac{1}{4}$，2]，函数$y={（{\frac{1}{4}}）^{x-1}}-4•{（{\frac{1}{2}}）^x}$+2=4${（\frac{1}{2}）}^{2x}$-4•${（\frac{1}{2}）}^{x}$+2=4t²-4t+2=4${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$=1，
故当t=$\frac{1}{2}$，即x=1时，函数y取得最小值为1；当t=2，即x=-1时，函数y取得最大值为10．

点评 本题主要考查指数、对数不等式的解法，二次函数的性质，属于中档题．