Question

19．一个算法的程序框图如图所示，则该程序输出的结果为（　　）

• A． $\frac{1}{100}$
• B． $\frac{1}{121}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{120}{121}$

Answer 1

分析 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=$\frac{3}{1×{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{7}{{3}^{2}×{4}^{2}}$+…+$\frac{21}{1{0}^{2}×1{1}^{2}}$的值，由裂项法即可计算得解．

解答 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=$\frac{3}{1×{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{7}{{3}^{2}×{4}^{2}}$+…+$\frac{21}{1{0}^{2}×1{1}^{2}}$的值，
由于：$\frac{2i+1}{{i}^{2}•（i+1）^{2}}$=$\frac{i+（i+1）}{{i}^{2}•（i+1）^{2}}$=$\frac{1}{i（i+1）}$（$\frac{1}{i}$+$\frac{1}{i+1}$）=（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$）（$\frac{1}{i}$+$\frac{1}{i+1}$）=$\frac{1}{{i}^{2}}$-$\frac{1}{（i+1）^{2}}$，
所以：S=$\frac{3}{1×{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{7}{{3}^{2}×{4}^{2}}$+…+$\frac{21}{1{0}^{2}×1{1}^{2}}$
=（$\frac{1}{{1}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+（$\frac{1}{1{0}^{2}}$-$\frac{1}{1{1}^{2}}$）
=$\frac{1}{{1}^{2}}$-$\frac{1}{1{1}^{2}}$
=$\frac{120}{121}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．