Question

5．已知$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面上的一组基底，
（1）已知$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，且A，E，C三点共线，求实数λ的值；
（2）若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是夹角为60°的单位向量，$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=-2λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$，当-3≤λ≤5时，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的线性运算以及共线定理，列出方程求出λ的值；
（2）根据平面向量的数量积以及二次函数的图象与性质，即可求出$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（1+λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
又$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，且A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得$\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{EC}$，
即$\overrightarrow{e_1}+（1+λ）\overrightarrow{e_2}=k（-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}）$，
整理得$（1+2k）\overrightarrow{e_1}=（k-1-λ）\overrightarrow{e_2}$，
∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是平面内两个不共线的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}1+2k=0\\ λ=k-1\end{array}\right.$，
解得$k=-\frac{1}{2}，λ=-\frac{3}{2}$；
（2）∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是夹角为60⁰的单位向量，
∴$\overrightarrow{e_1}•\overrightarrow{e_2}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=（\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}）•（-2λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}）=-{λ^2}-3λ-\frac{1}{2}=-{（λ+\frac{3}{2}）^2}+\frac{7}{4}$；
且在$λ∈[-3，-\frac{3}{2}]$上是增函数，在$λ∈[-\frac{3}{2}，5]$上是减函数，
∴λ=-$\frac{3}{2}$时，$\overrightarrow a•\overrightarrow b$取最大值是$\frac{7}{4}$，
λ=5时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最小值是-5²-3×5-$\frac{1}{2}$=$-40\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算以及共线定理和数量积、二次函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．