Question

9．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，点O、O₁分别是边AC，A₁C₁的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
（Ⅰ）求正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依据空间直角坐标系，设出坐标，利用$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=0$求正三棱柱的侧棱长．
（Ⅱ）利用向量法求出cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{BC}$＞，即可得到异面直线AB₁与BC所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）设正三棱柱的侧棱长为h，
由题意得 A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A₁（0，-1，h），B₁（$\sqrt{3}$，0，h），c₁（0，1，h）．
$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（\sqrt{3}，1，h），\overrightarrow{B{C}_{1}}=（-\sqrt{3}，1，h）$，
$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-3+1+{h}^{2}=0$所以h=$\sqrt{2}$           …（6分）
（Ⅱ）$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BC}=-3+1=-2$，|AB₁|=$\sqrt{6}$，|BC|=2，
，cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{-2}{2\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$ …（9分）
所以异面直线AB₁与BC所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（12分）

点评 本题考查了正三棱柱的性质，及异面直线所成角计算，属于基础题．