Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．给出下列命题：
①f（-3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为

 

．（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①由于f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3可得f（-3）=0；
②利用函数y=f（x）是R上的偶函数，f（-3）=0，f（x+6）=f（x）+f（3）可得f（x）是以6为周期的函数，继而有f（-6-x）=f（-6+x），从而可判断②；
③当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，⇒f（x）在[0，3]上是增函数，而y=f（x）是R上的偶函数，于是f（x）在[-3，0]上是减函数，再利用其周期为6，即可得到函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，从而可判断③；
④利用①②③可知f（-3）=f（3）=0，f（-9）=f（9）=0，且只有这四解，从而可判断④．

解答： 解：①∵y=f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），又f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），即f（3）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，即①正确；
②∵f（-3）=0，∴f（3）=f（-3）=0，∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，又f（-x）=f（x），
∴f（-x-6）=f（-6+x）
∴直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；
③∵当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴f（x）在[0，3]上是增函数，而y=f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）在[-3，0]上是减函数，又其周期为6，
∴函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数，故③错误；
④由①③知，f（3）=f（-3）=0，f（x）在[0，3]上是增函数，∴[0，3]上只有一解为3，由对称性知，f（x）在[-3，0]只有一解为-3，
又其周期为6，∴f（x）在[3，6]上是减函数，在[6，9]上是增函数，在[-6，-3]上是增函数，在[-9，-6]上为减函数；
∵f（x）关于x=6对称，∴f（x）在[3，6]上只有一解为3，
∴由对称性知f（x）在[6，9]上只有一解为9，在区间[-6，-3]只有一解-3；
综上所述，只有四解，为-9，-3，3，9，故④正确．
∴所有正确命题的序号为①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查函数的单调性、周期性、对称性的综合应用，考查分析、运算、推理及思维能力，属于难题．