Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n， {b_n}是等比数列，且a₁＝b₁＝2，a₄＋b₄＝21，

S₄＋b₄＝30．

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）记c_n＝a_nb_n，n∈N*，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．

由a₁＝b₁＝2，得a₄＝2＋3d，b₄＝2q³，S₄＝8＋6d

由条件a₄＋b₄＝21，S₄＋b₄＝30，得方程组

所以a_n＝n＋1，b_n＝2ⁿ，n∈N*．                 

（2）由题意知，c_n＝(n＋1)×2ⁿ．

记T_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n．

则T_n＝c₁＋c₂＋c₃＋…＋c_n

    ＝2×2＋3×2²＋4×2³＋…＋n×2^n－1       ＋(n＋1)×2ⁿ，

2 T_n＝     2×2²＋3×2³＋…＋(n－1)×2^n－1＋n×2ⁿ＋    (n＋1)2^n＋1，

所以－T_n＝2×2＋(2²＋2³＋…＋2ⁿ )－(n＋1)×2^n＋1，  

即T_n＝n·2^n＋1，n∈N*．