Question

设函数f(x)＝x³－3ax＋b(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

Answer 1

 [解析]　(1)f′(x)＝3x²－3a.

因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，

所以解得a＝4，b＝24.

(2)f′(x)＝3(x²－a)(a≠0)．

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.

当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．